蚂蚁圆台问题研究器

输入上圆半径 r、下圆半径 R 和高度 h，自动生成圆台立体示意图与路径长度函数图像。模型设定：A 在下圆边界，D 在上圆边界，D 与 A 的对应母线在圆周方向相差 180°；蚂蚁先沿侧面到上圆点 P，再沿上圆弦 PD 到 D。

α = 0°：黄色走法 0° ≤ α ≤ 180°：绿色变量走法 α = 180°：蓝色走法

参数与变量

支持圆台，也支持 r = R 的圆柱极限情形。

圆台模型

上圆半径 r 下圆半径 R 高度 h

当前 α60°

α 数值

交互式 3D 圆台

鼠标或单指拖动旋转，滚轮或双指缩放。三条路径使用同一展开模型映射回圆台表面。

缩放 L(60°) = …

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拖动：旋转方向　滚轮/双指：调节大小　双击：重置

视角就绪

α=0°：侧面母线 + 上圆直径当前 α：侧面最短路 + 上圆弦 α=180°：仅走侧面

函数图像

显示 0° ≤ α ≤ 180° 上从 A 到 D 的总长度。

最值已标出

L(α) 最小值点最大值点

当前侧面长度 S(α)—

当前上圆弦长—

当前总长度 L(α)—

侧面最短路类型—

圆台侧面展开图

平面展开图仅显示蓝色路线（α=180°）。箭头按实际行走方向由下圆点 A 指向上圆对应点 D。

蓝色侧面路径计算中

蓝色箭头：仅走圆台侧面时的最短路径 A → D（α=180°）

最值点坐标

图中标签显示数值定位；表格给出“精确表达式/定义”和高精度小数。

全局最小值

—

全局最大值

—

类型	坐标数值	精确表达式 / 定义

查询特定横坐标

输入 α，即函数图像上的横坐标，程序会显示因变量 L(α) 的精确表达式和数值。

查询 α（度，0 到 180）

等待输入横坐标。

建模说明

令 P 为先走侧面后到达的上圆点，∠POD = 180° − α。侧面最短路在圆台侧面展开图中优先取直线；当这条直线会穿过上圆内孔时，程序自动改用“切线 + 上圆边界”的侧面最短路。上圆部分是弦 PD。侧面展开图固定展示仅走侧面时的蓝色路线 A→D（α=180°）；程序中的“精确值”以公式或方程定义给出，并同时显示高精度小数便于读图比较。